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解：∵四邊形?$ABCD$?是菱形

∴?$AC、$??$BD$?互相垂直平分

∴?$∠AOD=90°，$??$AO=\frac 1 2AC=2$?

∵?$E$?為?$Rt△AOD$?斜邊上的中點(diǎn)

∴?$OE$?為斜邊上的中線

∴?$AD=2OE=4$?

∴?$OD=\sqrt {{4}^2-{2}^2}=2\sqrt {3}$?

∴?$tan∠EDO=\frac {AO}{OD}=\frac {2}{2\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {3}}3$?

解：過點(diǎn)?$ A $?作?$ A H \perp B C $?于點(diǎn)?$ H $?

∵?$S_{\triangle A B C}= 27\ \mathrm {cm^2}，$??$ B C=9\ \mathrm {cm}$?

∴?$\frac {1}{2} ×9 ×A H=27 $?

∴?$A H= 6\ \mathrm {cm} $?

∵?$A B=10\ \mathrm {cm}$?

∴?$B H=\sqrt{A B^2-A H^2}= \sqrt{10^2-6^2}=8(\ \mathrm {cm})$?

∴?$\tan B=\frac {A H}{B H}=\frac {6}{8}=\frac {3}{4}$?

解：?$(1)$?如圖，過點(diǎn)?$A$?作?$AH⊥BC$?于點(diǎn)?$H$

∵?$AB=AC=10，$??$BC=12$?

∴?$BH=CH= BC=6$?

在?$Rt△ABH$?中，?$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$?

∴?$tan B=\frac {AH}{BH}=\frac {8}{6}= \frac {4}{3}$?

?$(2)$?∵?$AB=AC$?

∴?$∠B=∠C$?

由?$(1)$?知∵?$tan B=\frac {4}{3}$?

∴?$tan C=\frac 43$?

∴?$\frac {DE}{CE}= \frac {4}{3}$?

∵?$D$?是?$AC$?的中點(diǎn)，?$AC=10$?

∴?$CD=5$?

∴易求得?$DE=4，$??$CE=3$?

∴?$BE=BC-CE=12-3=9$?

∵?$tan B= \frac 43，$??$\frac {EF}{BE}=\frac 43$?

∴?$EF=12$?

∴?$DF=EF-DE=12-4=8$?

∴?$\frac {DF}{DE}=\frac {8}{4}=2$?

?$(1) $?證明：∵?$ D$?是?$\widehat{BC}$?的中點(diǎn)

∴?$ \widehat{CD}=\widehat{BD}$?

∵?$ DE⊥AB$?且?$AB$?為?$⊙O$?的直徑

∴?$ \widehat{BE}=\widehat{BD}$?

∴?$ \widehat{BC}=\widehat{DE}$?

∴?$ BC=DE $?

?$(2)$?連接?$OD$?

∵?$ \widehat{CD}=\widehat{BD}$?

∴?$ ∠CAB=∠DOB$?

∵?$ AB$?為?$⊙O$?的直徑

∴?$ ∠ACB=90°$?

∵?$ DE⊥AB$?

∴?$ ∠DFO=90°$?

∴?$ △ACB∽△OFD$?

∴?$ \frac {AC}{AB}=\frac {OF}{OD}$?

設(shè)?$\odot O$?的半徑為?$r，$?則?$ \frac {6}{2r}=\frac {r-2}{r}$?

解得?$r=5$?

經(jīng)檢驗(yàn)，?$r=5$?是方程的根

∴?$ AB=2r=10$?

∴?$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$?

∴?$ tan ∠CAB=\frac {BC}{AC}=\frac {8}{6}=\frac {4}{3}$?

∵?$ ∠BPC=∠CAB$?

∴?$ tan ∠BPC=\frac {4}{3}$?

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