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解：?$(1)$?如圖，?$D$?是所求作的點(diǎn)
?$ (2) $?∵?$ AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}，$??$BC=5，$??$BD=1$?
∴?$ \frac {BD}{AB}=\frac {1}{\sqrt 5}=\frac {\sqrt{5}}{5}，$??$\frac {AB}{BC}=\frac {\sqrt{5}}{5}$?         ∴?$\frac {BD}{AB}= \frac {AB}{BC}$?
∵?$ ∠DBA=∠ABC $?
∴?$ △ABD∽△CBA$?

?$(1)$?解：∵?$AE=3，$??$AC=12$?
∴?$CE=AC-AE=12-3=9$?
∵?$AB//CD$?
∴?$△CDE∽△ABE$?
∴?$\frac {CD}{AB}=\frac {CE}{AE} $?
∴?$CD=\frac {AB·CE}{AE}= \frac {6×9}{3}=18$?
?$ (2)$?證明：∵?$\frac {AE}{AB}=\frac {3}{6}= \frac {1}{2} ，$??$\frac {AB}{AC}= \frac {6}{12}= \frac {1}{2}$?
∴?$ \frac {AE}{AB}= \frac {AB}{AC}$?
∵?$∠A=∠A$?
∴?$△ABE∽△ACB$?
證明：?$(1)$?∵?$AB=AC$?
∴?$∠B=∠C$?
∵?$∠BDE=180°-∠B-∠DEB，$??$∠CEF=180°-∠DEF -∠DEB，$??$∠DEF=∠B$?
∴?$∠BDE=∠CEF$?
∴?$△BDE∽△CEF $?
?$(2)$?∵?$△BDE∽△CEF$?
∴?$\frac {BE}{CF} =\frac {DE}{EF}$?
∵?$ E$?是?$BC$?的中點(diǎn)
∴?$BE=CE$?
∴?$\frac {CE}{CF}= \frac {DE}{EF}$?
∵?$∠DEF=∠B=∠C$?
∴?$△DEF∽△ECF$?
∴?$∠DFE=∠CFE$?
∴?$FE$?平分?$∠DFC$?
證明：?$(1)$?∵?$AB=AC$?
∴?$∠B=∠C$?
∵?$CF=BE$?
∴?$CF-EF=BE-EF，$?即?$CE=BF$?
在?$△ACE$?和?$△ABF $?中
?$\begin{cases}{AC=AB}\\{∠C=∠B}\\{CE=BF}\end{cases}$?
∴?$△ACE≌△ABF(\mathrm {SAS})$?
∴?$∠CAE=∠BAF$?
?$ (2)$?∵?$△ACE≌△ABF$?
∴?$AE=AF，$??$∠CAE=∠BAF$?
∵?$AE^2=AQ · AB，$??$AC=AB$?
∴?$\frac {AE}{AQ}=\frac {AC}{AF}$?
∴?$△ACE∽△AFQ$?
∴?$∠AEC=∠AQF$?
∴?$∠AEF=∠BQF$?
∵?$AE=AF$?
∴?$∠AEF=∠AFE$?
∴?$∠BQF=∠AFE$?
∵?$∠B=∠C$?
∴?$△CAF∽△BFQ$?
∴?$\frac {CF}{BQ}= \frac {AF}{FQ}，$?即?$CF·FQ=AF·BQ$?
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