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解：相似

易證得?$∠A=∠A'=120°，$??$∠B=∠B'=60°，$?

?$∠C=∠C'=120°，$??$∠D=∠D'=60°$?

?$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {CD}{C'D'}=\frac {AD}{A'D'}$?

∴菱形?$ABCD∽$?菱形?$A'B'CD'$?

解：四邊形?$ABCD$?與四邊形?$AEOF $?相似，理由：

∵?$△AEO∽△ABC$?

∴?$∠2=∠1，$??$∠4=∠3，$??$\frac {EO}{BC}=\frac {AO}{AC}=\frac {AE}{AB}$?

∵?$△AOF∽△ACD$?

∴?$∠6=∠5，$??$∠8=∠7，$??$\frac {OF}{CD}=\frac {AO}{AC}=\frac {AF}{AD}$?

∴?$∠2+∠6=∠1+∠5，$?即?$∠EOF=∠BCD ，$??$\frac {EO}{BC}=\frac {AE}{AB}=\frac {OF}{CD}=\frac {AF}{AD}$?

在四邊形?$AEOF $?和四邊形?$ABCD$?中，∵?$∠EAF=∠BAD，$??$∠4=∠3，$?

?$∠EOF=∠BCD，$??$∠8=∠7，$??$\frac {EO}{BC}=\frac {AE}{AB}=\frac {AF}{AD}=\frac {OF}{CD}$?

∴四邊形?$AEOF∽$?四邊形?$ABCD，$?即四邊形?$ABCD$?與四邊形?$AEOF $?相似

解：?$(1) $?不一定

?$ (2) $?設(shè)長為?$m，$?寬為?$n$?

則?$\ \mathrm {m^2}=2n^2，$?即?$ \frac {m}{n}=\sqrt{2} $?或?$m=\sqrt{2}\ \mathrm {n} $?

?$(3)\ \mathrm {S}_{矩形ABCD}=\sqrt{2}$?

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