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解：?$(1)$?把?$x=3，$??$y=3$?代入?$y=ax^2，$?得?$a · 3^2=3$?
解得?$a=\frac {1}{3}$?
∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為?$y=\frac {1}{3} x^2$?
當(dāng)?$x=-2$?時，?$y=\frac {1}{3} ×(-2)^2=\frac {4}{3}$?
?$(2)$?∵?$y=\frac {1}{3} x^2，$??$a= \frac {1}{3}> 0$?
∴圖像開口向上，對稱軸是?$y$?軸，頂點坐標(biāo)是?$(0，$??$0)$?
解：函數(shù)圖像如下

?$(1)$?由圖可知，?$y_{1}＜y_{2}$?
?$(2)$?由圖可知，?$y_{3}＞y_{4}$?
解：如圖，∵ 拋物線?$y=x^2$?上有?$A、$??$B、$??$C$?三點，其橫坐標(biāo)分別為?$m、$??$m+1、$??$m+3$?
 ∴?$ A(m，$??$\ \mathrm {m^2})，$??$B(m+1，$??$(m+1)^2)，$??$C(m+3，$??$(m+3)^2)$?
設(shè)直線?$AC$?對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為?$y=kx+b$?
則有?$\begin{cases}{mk+b=\ \mathrm {m^2}}\\{(m+3)k+b=(m+3)^2}\end{cases}，$?解得?$\begin{cases}{k=2m+3}\\{b=-\ \mathrm {m^2}-3m}\end{cases}$?
∴?$ y=(2\ \mathrm {m}+3)x-\ \mathrm {m^2}-3m$?
∴?$ BD$?的長為?$(2m+3)(m+1)-\ \mathrm {m^2}-3m-(m+1)^2=2$?
∴?$ S_{△ABC}=\frac {1}{2}\ \mathrm {BD} · 1+ \frac {1}{2}\ \mathrm {BD} · 2=3$?
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