證明：?$(1)$?連接?$DE、$??$DF，$?如圖①
當(dāng)?$t=2$?時，?$DH=AH=4，$?則?$H$?是?$AD$?的中點
∵?$EF⊥AD$?
∴?$EF $?為?$AD$?的垂直平分線
∴?$AE= DE，$??$AF= DF$?
∵?$AB= AC，$??$AD⊥BC，$?∴?$∠B=∠C$?
∴?$EF//BC$?
∴?$∠AEF=∠B，$??$∠AFE=∠C$?
∴?$∠AEF=∠AFE$?
∴?$AE= AF$?
∴?$AE=AF= DE= DF$?
∴四邊形?$AEDF $?為菱形
?$(2)$?如圖②由?$(1)$?知?$EF//BC$?
∴?$△AEF∽△ABC$?
∴?$\frac {EF}{BC}=\frac {AH}{AD}，$?即?$\frac {EF}{10}=\frac {8-2t}{8}$?
解得?$EF= 10-\frac {5t}{2}$?
?$S_{△PEF}=\frac {1}{2}EF×DH=\frac {1}{2}(10-\frac {5}{2}t)×2t=-\frac {5}{2}t2+10t=-\frac {5}{2}(t-2)2+10$?
∴當(dāng)?$t= 2s $?時，?$S_{△PEF} $?取最大值，最大值為?$10，$?此時?$BP=3t=6(\ \mathrm {cm})$?
?$(3)$?存在，理由如下：
①若點?$E$?為直角頂點，如圖③
此時?$PE//AD，$??$PE= DH= 2t，$??$BP= 3t$?
∵?$PE//AD$?
∴?$\frac {PE}{AD}=\frac {BP}{BD}，$?即?$\frac {2t}{8}=\frac {2t}{5}$?
此比例式不成立，故此種情形不存在
②若點?$F $?為直角項點，如圖④
此時?$PE//AD，$??$PF=DH= 2t，$??$BP= 3t，$??$CP= 10- 3t$?
∵?$PF//AD$?
∴?$\frac {PF}{AD}=\frac {CP}{CD}，$?即?$\frac {2t}{8}=\frac {10-3t}{5}$?
解得?$t=\frac {40}{17}$?
③若點?$P $?為直角頂點，如圖⑤
過點?$E$?作?$EM⊥BC，$?垂足為?$M，$?過點?$F $?作?$FN⊥BC，$?垂足為?$N$?
則?$EM = FN = DH= 2t，$??$EM//FN//AD$?
∵?$EM//AD$?
∴?$\frac {EM}{AD}=\frac {BM}{BD}，$?即?$\frac {2t}{8}=\frac {BM}{5}$?
解得?$BM=\frac {5}{4}t$?
∴?$PM=BP-BM=3t-\frac {5}{4}t=\frac {7}{4}t$?
在?$Rt△EMP $?中，由勾股定理，
得?$PE2=EM2+PM2= (2t)2+(\frac {7}{4}t)2=\frac {113}{16}t2$?
∵?$FN//AD$?
∴?$\frac {FN}{AD}=\frac {CN}{CD}，$?即?$\frac {2t}{8}=\frac {CN}{5}$?
解得?$CN=\frac {5}{4}t$?
∴?$PN= BC- BP- CN= 10- 3t-\frac {5}{4}t= 10-\frac {17}{4}t$?
在?$Rt△FNP $?中，由勾股定理得?$PF2=FN2+PN2= (2t)2+(10-\frac {17}{4}t)2=\frac {353}{16}t2-85t+100$?
在?$Rt△PEF $?中，由勾股定理，得?$EF2=PE2+PF2$?
即?$(10-\frac {5}{2}t)2=(\frac {113}{16}t2)+(\frac {353}{16}t2-85t+100)$?
化簡得?$\frac {233}{8}t2-35t=0$?
解得?$t= \frac {280}{233}$?或?$t=0 ($?舍去)
∴?$t=\frac {280}{233}$?
綜上所述，當(dāng)?$t=\frac {40}{17}s $?或?$t=\frac {280}{233}s $?時，?$△PEF $?為直角三角形
