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45°

$證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形$

$∴AB=DA，∠B=∠BAD=90°$

$∴∠PAD+∠BAF=90°$

$∵DE⊥AF$

$∴∠APD=90°$

$∴∠PAD+∠ADE=90°$

$∴∠BAF=∠ADE$

$在△DAE和△ABF 中，$

$ \begin{cases}∠ADE=∠BAF\\DA=AB\\∠DAE=∠ABF\end{cases}$

$∴△DAE≌△ABF$

$∴AE=BF$

$(3)過(guò)點(diǎn)E作ET⊥CD于點(diǎn)T，則∠ETG=90°$

$∵四邊形ABCD是正方形$

$∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°$

$∴四邊形BCTE是矩形，∠ABF=∠ETG$

$∴ET=BC=AB，BE=TC，∠BET=∠AET=90°$

$∴∠AEP+∠TEG=90°$

$∵AF⊥EG$

$∴∠APE=90°$

$∴∠AEP+∠BAF=90°$

$∴∠BAF=∠TEG$

$∴△ABF∽△ETG$

$∴BF=TG=x$

$∵四邊形ABCD是正方形$

$∴AD=AB=2，AD//BC，DG//BE$

$∴△BPF∽△DPA，△BPE∽△DPG$

$∴\frac {BP}{DP}=\frac {BF}{DA}，\frac {BE}{DG}=\frac {BF}{DA}$

$∴\frac {BE}y=\frac x 2$

$∴BE=TC=\frac 1 2xy$

$∵TG=CD-DG-TC$

$∴x=2-y-\frac 1 2xy$

$∴y=\frac {4-2x}{x+2}(0\leqslant x\leqslant 2)$

$\frac {5}{4}$

$ 解：(2) ∵ 四邊形ABCD是矩形， $

$ ∴ CD=AB=6，AD=BC$

$ ∠A=∠B=∠BCD=90°， $

$ ∴ ∠BCB'=90° $

$ ∵ DE是折痕，$

$ ∴ A'B'=AB=6，A'D=AD，∠DA'B'=∠A=90°，∠A'B'E=∠B=90°， $

$ ∴ ∠EB'C+∠A'B'D=90°=∠A'B'D+∠B'DA'，$

$ ∴ ∠EB'C=∠B'DA' $

$ ∴ △EB'C∽△B'DA' $

$ ∴ \frac {CE}{A'B'}=\frac {B'C}{DA'} ，$

$ 即 \frac {CE}{6} = \frac {B'C}{BC} ， $

$ ∴ BC×CE=6B'C.$

$ 又 ∵ BC×CE=24， $

$ ∴B'C=\frac {BC×CE}{6} = \frac {24}{6} =4， $

$ ∴ B'D=B'C+CD=10， $

$ ∴ 在Rt△A'B'D中，A'D= \sqrt{B'D2-A'B'2} =8， $

$ ∴ BC=AD=A'D=8 $

$ ∴ CE=3， $

$ ∴ BE=BC-CE=8-3=5.$

$(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形$

$∴AB=DA，∠B=∠BAD=90°$

$∴∠PAD+∠BAF=90°$

$∵DE⊥AF$

$∴∠APD=90°$

$∴∠PAD+∠ADE=90°$

$∴∠BAF=∠ADE$

$在△DAE和△ABF中，$

${{\begin{cases} { {∠ADE=∠BAF}} \\{DA=AB} \\ {∠DAE=∠ABF} \end{cases}}}$

$∴△DAE≌△ABF$

$∴AE=BF$

$(2)解：連接AQ，CQ$

$∵四邊形ABCD是正方形$

$∴BA=BC，∠ABC=90°，∠ABQ=∠CBQ=45°$

$又∵BQ=BQ$

$∴△ABQ≌△CBQ$

$∴QA=QC，∠BAQ=∠BCQ$

$根據(jù)題意，得EQ垂直平分線段AF，$

$∴QA=QF$

$∴∠FAQ=∠AFQ，QC=QF$

$∴∠QCF=∠QFC$

$∴∠QFC=∠BAQ$

$∵∠QFC+∠BFQ=180°$

$∴∠BAQ+∠BFQ=180°$

$∵四邊形ABFQ的內(nèi)角和為360°$

$∴∠AQF+∠ABF=180°$

$∵∠ABF=90°$

$∴∠AQF=90°$

$∴∠AFQ=\frac 1 2×(180°-90°)=45°$

$(3)解：過(guò)點(diǎn)E作ET⊥CD于點(diǎn)T，則∠ETG=90°$

$∵四邊形ABCD是正方形$

$∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°$

$∴四邊形BCTE是矩形，∠ABF=∠ETG$

$∴ET=BC=AB，BE=TC，∠BET=∠AET=90°$

$∴∠AEP+∠TEG=90°$

$∵AF⊥EG$

$∴∠APE=90°$

$∴∠AEP+∠BAF=90°$

$∴∠BAF=∠TEG$

$∴△ABF∽△ETG$

$∴BF=TG=x$

$∵四邊形ABCD是正方形$

$∴AD=AB=2，AD//BC，DG//BE$

$∴△BPF∽△DPA，△BPE∽△DPG$

$∴\frac {BP}{DP}=\frac {BF}{DA}，\frac {BE}{DG}=\frac {BF}{DA}$

$∴\frac {BE}y=\frac x 2$

$∴BE=TC=\frac 1 2xy$

$∵TG=CD-DG-TC$

$∴x=2-y-\frac 1 2xy$

$∴y=\frac {4-2x}{x+2}(0\leqslant x\leqslant 2)$

$解：∵四邊形ABCD是矩形$

$∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠B=∠C=90°$

$由翻折的性質(zhì)，得AD=A'D=10，AE=A'E$

$∴在Rt△A'CD中，A'C=\sqrt {{A'D}^2-{CD}^2}=\sqrt {{10}^2-{6}^2}=8$

$∴A'B=BC-A'C=2$

$設(shè)AE=A'E=x，則BE=AB-AE=6-x$

$∵在Rt△A'BE中，{BE}^2+{A'B}^2={A'E}^2$

$∴{(6-x)}^2+{2}^2={x}^2$

$解得x=\frac {10}3$

$∴AE=\frac {10}3，BE=6-\frac {10}3=\frac 8 3$

$∴\frac {AE}{EB}=\frac {10}3÷\frac 8 3=\frac 5 4$

$故答案為：\frac 5 4$

$解：(2) ∵ 四邊形ABCD是矩形， $

$∴ CD=AB=6，AD=BC$

$∠A=∠B=∠BCD=90°， $

$∴ ∠BCB'=90° $

$∵ DE是折痕，$

$∴ A'B'=AB=6，A'D=AD，∠DA'B'=∠A=90°，∠A'B'E=∠B=90°， $

$∴ ∠EB'C+∠A'B'D=90°=∠A'B'D+∠B'DA'，$

$∴ ∠EB'C=∠B'DA' $

$∴ △EB'C∽△B'DA' $

$∴ \frac {CE}{A'B'}=\frac {B'C}{DA'} ，$

$即 \frac {CE}{6} = \frac {B'C}{BC} ， $

$∴ BC×CE=6B'C.$

$又 ∵ BC×CE=24， $

$∴B'C=\frac {BC.CE}{6} = \frac {24}{6} =4， $

$∴ B'D=B'C+CD=10， $

$∴ 在Rt△A'B'D中，A'D= \sqrt{B'D2-A'B'2} =8， $

$∴ BC=AD=A'D=8 $

$∴ CE=3， $

$∴ BE=BC-CE=8-3=5.$

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